Formuladas pelo matemático britânico Augustus De Morgan no século XIX, as Leis de Morgan são princípios fundamentais da lógica matemática. Estes princípios têm aplicações importantes também na computação, engenharia elétrica e em qualquer área que envolva a lógica booleana.
1 Leis de Morgan
Em continuação ao nosso artigo sobre lógica proposicional, as Leis de Morgan descrevem como negações se comportam quando aplicadas a proposições compostas usando os operadores lógicos E (^ – conjunção) e OU (v – disjunção).
1.1 Primeira Lei de Morgan
A primeira lei descreve que negar duas proposições simples que estão compostas pelo operador E (p ^ q) é o mesmo que negar as duas proposições e trocar seu operador pelo OU (v). Ou seja:
- ¬ (p ^ q) = ¬p v ¬q : A negação de p E q é igual a não p OU não q;
- Exemplo: negar que Ana é médica e José é policial é o mesmo que Ana não é médica ou José não é policial.
1.2 Segunda Lei de Morgan
Já a segunda lei, temos que a negação de duas proposições conectadas com o OU (p v q) é o mesmo que negar as duas proposições e modificar seu operador para E (^):
- ¬ (p v q) = ¬p ^ ¬q: A negação de p OU q é igual a não p E não q;
- Exemplo: negar que João come bolo ou Maria faz pastel é o mesmo que João não come bolo e Maria não faz pastel.
1.3 Aplicação em Conjuntos
Os conjuntos de elementos são frequentemente representados por letras maiúsculas. Eles podem se relacionar de forma que podem conter uns aos outros, ou compartilhar elementos. Exemplo:
Conjunto U (universo. Ou seja, todos os elementos) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}
Conjunto B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A U B (A unido a B): conjunto composto por todos os elementos de A, junto a todos os elementos de B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A ∩ B (Interseção de A e B): conjunto composto por todos os elementos que estão contidos em A e também em B = {4, 5}
A’ (complemento de A): tudo que não está contido em A = {6, 7, 8, 9, 10}
B’ (complemento de B): tudo que não está contido em B = {1, 2, 3}
As Leis de Morgan também se aplicam a conjuntos da forma que se segue:
- Complemento da interseção: (A ∩ B)’ = A’ U B’ – Lê-se: o complemento da interseção de A com B é igual ao complemento de A unido ao complemento de B;
- Complemento da união: (A U B)’ = A’ ∩ B’ – Lê-se: o complemento da união de A com B é igual à interseção do complemento de A com o complemento de B.
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A negação da proposição “Clara foi ao cinema e Fábio é cantor” é:
( ) A – Clara foi ao cinema e Fábio não é cantor.
( ) B – Clara foi ao cinema ou Fábio não é cantor.
( ) C – Clara não foi ao cinema ou Fábio não é cantor.
( ) D – Clara não foi ao cinema e Fábio não é cantor.
( ) E – Clara não foi ao cinema e Fábio é cantor.
Segundo a primeira Lei de Morgan, a alternativa correta é a letra C.
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